Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Các đường cao AK, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của đoạn AH, N là trung điểm của đoạn BC.

8/9

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc đều nhọn. Các đường cao \(AK\), \(BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AH\), \(N\) là trung điểm của đoạn \(BC\).

a) Chứng minh bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(F\) nằm trên cùng một đường tròn.

b) Chứng minh \(NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\).

c) Chứng minh \(C{I^2} - I{E^2} = CK.CB\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Media VietJack

a) Chứng minh bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(F\) nằm trên cùng một đường tròn.

Ta có \[\widehat {AEB} = 90^\circ \](do \(BE\) là đường cao của \(\Delta ABC\)) hay \[\widehat {AEH} = 90^\circ \]

\[\widehat {AFC} = 90^\circ \] (do \(CF\) là đường cao của \(\Delta ABC\)) hay \[\widehat {AFH} = 90^\circ \]

Suy ra bốn điểm \(A,E,H,F\) cùng nằm trên một đường tròn đường kính \(AH\) (đpcm)

b) Chứng minh \(NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\);

Vì \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AH\) nên \(I\) là tâm đường tròn đường kính \(AH\)

Suy ra \(IA = IE\)

Vì\(\Delta IAE\) cân tại \(I\) nên \({\widehat A_1} = {\widehat E_1}\) (1)

\[\Delta EBC\] vuông tại \[E\]có \[EN\] là đường trung trrung tuyến ứng với cạnh huyền \[BC\]

Nên \(EN = NC\,\,\,\left( { = \frac{{BC}}{2}} \right)\)

Suy ra \[\Delta ENC\] cân tại \[N\] nên \(\widehat {NCE} = \widehat {{E_4}}\) (2)

Xét \[\Delta AKC\] vuông tại \[K\] có \[\widehat {KCA} + {\widehat A_1} = 90^\circ \] hay \[\widehat {NCE} + {\widehat A_1} = 90^\circ \] (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \({\widehat E_1} + {\widehat E_4} = 90^\circ \)

Lại có \({\widehat E_1} + {\widehat E_4} + \widehat {IEN} = 180^\circ \) (do \(A;\;E;\;C\) thẳng hàng)

Suy ra \(90^\circ + \widehat {IEN} = 180^\circ \)hay\(\widehat {IEN} = 90^\circ \)

Suy ra \(EN \bot EI\) tại \(E\)

Do đó \(NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\) (đpcm)

c) Chứng minh \[C{I^2} - I{E^2} = CK\;.\;CB\].

Áp dụng định lí Py – Ta – Go \(\Delta CIK\) vuông tại \(K\), ta có: \(C{I^2} = C{K^2} + I{K^2}\)

Lại có \(IA = IE = IH\) (cùng bán kính đường tròn tâm I)

Suy ra \[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + I{K^2} - I{E^2}\]

\[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + (IK + IE)(IK - IE)\]

\[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + (IK + IE)(IK - IH)\] \[ = C{K^2} + AK\;.\;KH\] \(\left( 4 \right)\)

Ta lại có \[CK.CB = CK(CK + KB)\] \[ = C{K^2} + CK\;.\;KB\] \(\left( 5 \right)\)

Xét \(\Delta KBH\) và \(\Delta KAC\) có

\(\widehat {KBH} = \widehat {KAC}\) (\( = 90^\circ - \widehat {ACB}\)); \[\widehat {BKH} = \widehat {AKC} = 90^\circ \]

Do đó \[\left( {g - g} \right)\]

Nên \(\frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{KH}}{{KC}}\) suy ra\(KA\;.\;KH = KB\;.\;KC\) hay \(AK\;.\;KH = CK\;.\;KB\) \(\left( 6 \right)\)

Từ \[\left( 4 \right)\],\(\left( 5 \right)\) và \(\left( 6 \right)\) suy ra \[C{I^2} - I{E^2} = CK\;.\;CB\] (đpcm)