Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại I. Vẽ IH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng

Vì BI là phân giác của góc ABC nên ABI^=IBC^=ABC^2.

Vì CI là phân giác của góc ACB nên ACI^=BCI^=ACB^2.

Vì AI là phân giác của góc ACB nên BAI^=CAI^=CAB^2.

Ta có: DIC^+AIC^=180° (hai góc kề bù).

Do đó DIC^=180°−AIC^ (1)

Trong DAIC có IAC^+ICA^+AIC^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra IAC^+ICA^=180°−AIC^  (2)

Từ (1) và (2) ta có:

Nên DIC^=IAC^+ICA^=BAC^+BCA^2.

Trong DCAB ta có: BAC^+ABC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Nên BAC^+ACB^=180°−ABC^

Suy ra DIC^=BAC^+BCA^2=180°−ABC^2=90°−ABC^2 (3)

Vì tam giác BIH vuông tại H nên HIB^+HBI^=90°.

Suy ra HIB^=90°−HBI^=90°−ABC^2 (4)

Từ (3) và (4) suy ra BIH^=CID^.

Vậy BIH^=CID^.