Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

3) Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF

Tứ giác BFEC có BEC^=BFC^=900

=> tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC thì O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF

∆OBE cân tại O (do OB=OE) => OBE^=OEB^

∆AEH vuông tại E có EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AH (Vì M là trung điểm AH)

=> ME=AH:2= MH do đó ∆MHE cân tại M=> MEH^=MHE^=BHD^

Mà BHD^+OBE^=900(∆HBD vuông tại D)

Nên OEB^+MEH^=900 Suy ra MEO^=900

⇒EM⊥OE tại E thuộc ( O ) => EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF

4) Gọi I và J tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác BDF và EDC. Chứng minh DIJ^ = DFC^ 

Tứ giác AFDC có AFC^=ADC^=900 nên tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn => BDF^=BAC^

∆BDF và ∆BAC có BDF^=BAC^ (cmt); B^ chung do đó ∆BDF ~ ∆BAC(g-g)

Chứng minh tương tự ta có ∆DEC ~ ∆ABC(g-g)

Do đó ∆DBF~∆DEC ⇒BDF^=EDC^⇒BDI^=IDF^=EDJ^=JDC^⇒IDJ^=FDC^(1)

Vì ∆DBF~∆DEC (cmt); DI là phân giác, DJ là phân giác ⇒DIDF=DJDC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆DIJ~∆DFC (c-g-c) => DIJ^ = DFC^