Cho tam giác ABC có AB<AC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H và AD=BE(D∈BC;E∈AC). Chứng minh rằng: (a) Tam giác ABC cân tại C. (b) Đường thẳng CH là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

23/41

Cho tam giác $A B C$ có $A B < A C$ . Hai đường cao $A D$ và $B E$ cắt nhau tại $H$ và $A D = B E$ $(D \in B C; E \in A C)$ . Chứng minh rằng:

(a) Tam giác $A B C$ cân tại $C$ .

(b) Đường thẳng $C H$ là đường trung trực của đoạn thẳng $A B$ .

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác ABC có AB<AC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H và AD=BE(D∈BC;E∈AC). Chứng minh rằng: (a) Tam giác ABC cân tại C. (b) Đường thẳng CH là đường trung trực của đoạn thẳng AB. (ảnh 1)

a) Xét $Δ A D E$ và $Δ B E D$ có

$A D = B E$ (gt)

$\hat{A E D} = \hat{B D E} = 90 °$

Cạnh $A B$ chung

Do đó $Δ A D E = Δ B E D$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\hat{E A B} = \hat{A B D}$ (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác $A B C$ cân tại $C$ .

b) Vì tam giác $A B C$ cân tại $C$ nên $C A = C B$ .

Suy ra $C$ thuộc đường trung trực của $A B$ .

Vì $Δ A D E = Δ B E D$ (cmt) nên $\hat{E B A} = \hat{D A B}$ (hai góc tương ứng).

Suy ra tam giác $H A B$ cân tại $H$ nên $H A = H B$ .

Do đó $H$ thuộc đường trung trực của $A B$ .

Vậy đường thẳng $C H$ là đường trung trực của đoạn thẳng $A B$ .

c) Tam giác $A B C$ cân tại $C$ nên $\hat{C A B} = \frac{180 ° - \hat{A C B}}{2}$ .

Ta có $A E = B D$ (vì $Δ A D E = Δ B E D$ ).

Suy ra $C A - A E = C B - B D$ nên $C E = C D$ .

Do đó tam giác $C E D$ cân tại $C$ nên $\hat{C E D} = \frac{180 ° - \hat{A C B}}{2}$ .

Suy ra $\hat{C A B} = \hat{C E D}$

Mà $\hat{C A B}$ và $\hat{C E D}$ ở vị trí đồng vị nên $E D / / B A .$