Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường thẳng vuông góc với BC tại trung điểm của BC ở D. Gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng AB, AC.

Ta có: D thuộc phân giác của góc A.

DH vuông góc với AB, DK vuông góc với AC.

Suy ra DH = DK (tính chất tia phân giác của một góc)

Gọi G là trung điểm của BC.

Xét ∆BGD và ∆CGD có:

\(\widehat {BGD} = \widehat {CGD} = 90^\circ \) (DG là đường trung trực của BC)

BG = CG (giả thiết)

DG là cạnh chung

Do đó ∆BGD = ∆CGD (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BD = CD (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆BHD và ∆CKD có:

\(\widehat {BHD} = \widehat {CKD} = 90^\circ \)

DH = DK (chứng minh trên)

BD = CD (chứng minh trên)

Do đó, ∆BHD = ∆CKD (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra BH = CK (hai cạnh tương ứng)