Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ tia Bx,Cy lần lượt cắt hai cạnh AC,AB tại D,E sao cho góc ABD = góc ACE a) Chứng minh: AD = AE

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

\(\widehat {BAC}\) là góc chung

\(AB = AC\) (giả thiết)

\[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\] (giả thiết)

Do đó \(\Delta ABD = \Delta ACE\) (g.c.g)

Suy ra \(AD = AE\) (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có \(AB = AC\) (giả thiết), \(AD = AE\) (câu a)

Suy ra \(AB - AE = AC - AD\) hay \(BE = CD\).

Từ câu a: \(\Delta ABD = \Delta ACE\) suy ra \({\widehat D_1} = {\widehat E_1}\) (hai góc tương ứng)

Mặt khác \[{\widehat D_1} + {\widehat D_2} = 180^\circ ;\,\,{\widehat E_1} + {\widehat E_2} = 180^\circ \] (hai góc kề bù). Do đó \({\widehat D_2} = {\widehat E_2}\).

Xét \(\Delta EBI\) và \(\Delta DCI\) có:

\(\widehat {EBI} = \widehat {DCI}\) (vì \(\Delta EBI = \Delta DCI\))

\(BE = CD\) (chứng minh trên)

\({\widehat D_2} = {\widehat E_2}\) (chứng minh trên)

Do đó \(\Delta EBI = \Delta DCI\) (g.c.g)

c) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AI\) và \(BC\).

Xét \(\Delta AEI\) và \(\Delta ADI\) có:

Cạnh \(AI\) chung

\(AD = AE\) (chứng minh trên)

\(EI = DI\) (vì \(\Delta EBI = \Delta DCI\))

Do đó \(\Delta AEI = \Delta ADI\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {EAI} = \widehat {DAI}\) (hai cạnh tương ứng) hay \(BAH = CAH\).

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có:

Cạnh \(AI\) chung

\(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\) (chứng minh trên)

\(AB = AC\) (giả thiết)

Do đó \(\Delta ABH = \Delta ACH\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

Vậy \(AH \bot BC\) hay \(AI \bot BC\).