Cho tam giác ABC có AB < AC . Tia Ax đi qua điểm M của BC . Kẻ BE và CF vuông góc với Ax ( E , F ∈ Ax ) . a) Chứng minh BE ∥ CF .

11/13

(3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC$. Tia $Ax$ đi qua điểm $M$ của $BC$. Kẻ $BE$ và $CF$ vuông góc với $Ax$$\left( {E,\,\,F \in Ax} \right)$.

a) Chứng minh $BE\parallel CF$.

b) So sánh $BE$ và $FC$; $CE$ và $BF$.

c) Giả sử $BE = CE$. Chứng minh $\Delta BEM = \Delta CEM$.

d) Tìm điều kiện về tam giác $ABC$ để có $BE = CE$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ (ảnh 1)$

a) Theo giả thiết: $BE \bot Ax$, $CF \bot Ax$

Suy ra $BE\parallel CF$.

b) So sánh $BE$ và $FC$; $CE$ và $BF$.

• Xét $\Delta MBE$ và $\Delta MCF$ có:

${\widehat B_1} = {\widehat C_2}$ (hai góc so le trong);

$BM = CM$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$);

${\widehat M_1} = {\widehat M_3}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó $\Delta MBE = \Delta MCF$ (g.c.g)

Suy ra $BE = CF$ (hai cạnh tương ứng).

• Xét $\Delta MBF$ và $\Delta MCE$ có:

${\widehat B_2} = {\widehat C_1}$ (hai góc so le trong);

$BM = CM$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$);

${\widehat M_2} = {\widehat M_4}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó $\Delta MBF = \Delta MCE$ (g.c.g)

Suy ra $BF = CE$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy $BE = CF$; $BF = CE$.

c) Xét $\Delta BEM$ và $\Delta CEM$ có:

$BE = CE$ (giả thiết);

$BM = CM$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$);

$EM$ là cạnh chung

Do đó $\Delta BEM = \Delta CEM$ (c.c.c).

d) Từ câu c: $\Delta BEM = \Delta CEM$

Suy ra $\widehat {BME} = \widehat {CME}$ (hai góc tương ứng).

Mặt khác, $\widehat {BME} + \widehat {CME} = 180^\circ $ (hai góc kề bù) nên $\widehat {BME} = \widehat {CME} = 90^\circ $.

Suy ra $EM \bot BC$ hay $AM \bot BC$.

Xét $\Delta BAM$ và $\Delta CAM$ có:

$BM = CM$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$);

$\widehat {BAM} = \widehat {CAM} = 90^\circ $;

$AM$ là cạnh chung

Do đó $\Delta BAM = \Delta CAM$ (c.g.c).

Suy ra $AB = AC$ (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$ thì $BE = CE$.