Cho tam giác ABC, có AB = AC, M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB

a) Vì M là trung điểm của AC(gt) => AM = MC = AC2

Vì N là trung điểm của AB (gt) => AN = BN = AB2

=> AM = AN = BN = CM

Mà AB = AC (gt)

Xét ΔABM và ΔACN, có:

AM = AN (Cmt)

BAC^ chung

AB = AC(gt)

=> ∆ABM =∆ACN(c-g-c) => BM = CN ( 2 cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét ∆BMC và ∆CNB, có:

BM = CN (cmt)

BN = CM (cmt)

BC chung

Suy ra ∆BMC = ∆CNB(c-c-c)

b) Vì N là trung điểm của CF (gt) => FN = CN

Vì M là trung điểmcủa BE (gt) => BM = ME

Xét ∆FAN và ∆CBN có:

NF = NC (Cmt)

FNA^=CNB^( đối đỉnh)      => ∆FAN = ∆CBN (c-g-c) => FA=CBFAN^=CBN^

NB = NA (Cmt)

Mà FAN ^và CBN^ nằm ở vị trí so le trong, cát tuyến AB => FA // BC mà FA = BC (1)

Chứng minh tương tự có ∆EAM =∆BCM => EA = CBEAM^=BCM^. Mà EAM^ và BCM^ nằm ở vị trí so le trong, cát tuyến AC => AE = BC & AE //BC(2)

Từ (1) và (2), suy ra A là trung điểm của EF

c) Theo b) có EF // BC(3)

Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của NP. Chứng minh ∆AMN = ∆CMP(c-g-c) 

ANM^=CPM^ => AB//CP => BNC^=PCN^slt.

Chứng minh ∆BNC=∆PCNc-g-c⇒NBC^=CPN^˙ ⇒⇒NBC^=ANM^˙. Mà NBC^ và ANM^˙ nằm ở vị trí đồng vị

Suy ra MN // BC (4). Từ (3) và (4) suy ra MN // BC // EF