Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC. b) Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC

a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có:

\(AM\) là cạnh chung;

\(AB = AC\) (giả thiết);

\(BM = CM\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\)).

Do đó \(\Delta AMB = \Delta AMC\) (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (hai cạnh tương ứng).

Vậy \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) (đpcm).

b) Từ câu a, ta có: \(\Delta AMB = \Delta AMC\).

Suy ra \(\widehat {BMA} = \widehat {CMA}\) (hai góc tương ứng).

Mặt khác, \(\widehat {BMA} + \widehat {CMA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Nên \(\widehat {BMA} = \widehat {CMA} = 90^\circ \) suy ra \(AM \bot BC\).

Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

c) Xét \(\Delta EMB\) và \(\Delta EMC\) có:

\(EM\) là cạnh chung;

\(EB = EC\) (giả thiết);

\(BM = CM\) (vì \(D\) là trung điểm của \(BC\)).

Do đó \(\Delta EMB = \Delta EMC\) (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {BME} = \widehat {CME}\) (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, \(\widehat {BME} + \widehat {CME} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Nên \(\widehat {BME} = \widehat {CME} = 90^\circ \) suy ra \(EM \bot BC\).

Vì qua điểm \(M\) chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với \(BC\) (theo tiên đề Euclid).

Mà \(EM \bot BC\), \(AM \bot BC\).

Do đó hai đường thẳng \(EM,\,\,AM\) trùng nhau.

Vậy ba điểm \(A,E,M\) thẳng hàng (đpcm).