Cho tam giác ABC có AB = AC . Gọi M là trung điểm của BC . a) Chứng minh AM là tia phân giác của ˆ BAC .

12/14

(2,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh $AM$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$.

b) Chứng minh $AM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

c) Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa điểm $A$ lấy điểm $E$ sao cho $EB = EC$. Chứng minh $A,E,M$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ có \(AB = A (ảnh 1)$

a) Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có:

$AM$ là cạnh chung;

$AB = AC$ (giả thiết);

$BM = CM$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$).

Do đó $\Delta AMB = \Delta AMC$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {CAM}$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy $AM$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ (đpcm).

b) Từ câu a, ta có: $\Delta AMB = \Delta AMC$.

Suy ra $\widehat {BMA} = \widehat {CMA}$ (hai góc tương ứng).

Mặt khác, $\widehat {BMA} + \widehat {CMA} = 180^\circ $ (hai góc kề bù).

Nên $\widehat {BMA} = \widehat {CMA} = 90^\circ $ suy ra $AM \bot BC$.

Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $AM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

c) Xét $\Delta EMB$ và $\Delta EMC$ có:

$EM$ là cạnh chung;

$EB = EC$ (giả thiết);

$BM = CM$ (vì $D$ là trung điểm của $BC$).

Do đó $\Delta EMB = \Delta EMC$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat {BME} = \widehat {CME}$ (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, $\widehat {BME} + \widehat {CME} = 180^\circ $ (hai góc kề bù).

Nên $\widehat {BME} = \widehat {CME} = 90^\circ $ suy ra $EM \bot BC$.

Vì qua điểm $M$ chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với $BC$ (theo tiên đề Euclid).

Mà $EM \bot BC$, $AM \bot BC$.

Do đó hai đường thẳng $EM,\,\,AM$ trùng nhau.

Vậy ba điểm $A,E,M$ thẳng hàng (đpcm).