Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh: tam giác AIC = tam giác AIB b) Kẻ đường thẳng qua I và vuông góc với AB tại D. Trên tia đối của tia ID lấy điểm E sa

a. Xét \[\Delta AIC\] và \[\Delta AIB\] có:

 \[AB = AC\] (gt)

 \[AI\] (cạnh chung)

 \[BI = CI\] (gt)

Suy ra \[\Delta AIC{\rm{ = }}\Delta AIB\] (c.c.c)b. Xét \[\Delta EIC\] và \[\Delta DIB\] có:

 \[IE = ID\] (gt)

 \(\widehat {EIC} = \widehat {DIB}\) ( đồng vị)

 \[BI = CI\] (gt)

Do đó \[\Delta EIC{\rm{ = }}\Delta DIB\] (c.g.c)

Suy ra\(\widehat {ECI} = \widehat {DBI}\)( hai góc tương ứng) (1)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Nên\[AB\parallel CE\].

c. Ta có \[\Delta AIC{\rm{ = }}\Delta AIB\] (theo câu a)

Suy ra \(\widehat {ACI} = \widehat {DBI}\) ( hai góc tương ứng) (2)

Và \[AC = AB\] ( hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ACI} = \widehat {ECI}\)

Từ đó chứng minh được \[\Delta HCK{\rm{ = }}\Delta ECK\] (g.c.g)

Suy ra \[CE = CH\]( hai cạnh tương ứng) (4)

Mà \[BD = CE\] (hai cạnh tương ứng của \[\Delta EIC{\rm{ = }}\Delta DIB\]) suy ra \[BD = CH\] (5)

Từ (3) và (5) chỉ ra được \[AH = AD\]

Suy ra tam giác \[AHD\] cân tại \[A\]\( \Rightarrow \widehat {AHD} = \frac{{180 - \widehat {BAC}}}{2}\) (*)

Ta có \[AB = AC\] nên tam giác \[ABC\] cân tại \[A\]

 \( \Rightarrow \widehat {ACB} = \frac{{180 - \widehat {BAC}}}{2}\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat {AHD} = \widehat {ACB}\)

Mà mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \[HD\parallel BC\]

Dễ chỉ ra được \[AI\] vuông góc với \[BC\].

Do đó \[HD\] vuông góc với \[AI\].