Cho tam giác ABC có AB < AC , A I là đường cao và 3 điểm D , E , F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB , AC , BC . Lấy điểm J sao cho E là trung điểm IJ .

12/14

(3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC,$ $AI$ là đường cao và 3 điểm $D,\,\,\,E,\,\,\,F$ theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng $AB,\,\,\,AC,\,\,\,BC.$ Lấy điểm $J$ sao cho $E$ là trung điểm \[IJ.\]

a) Tứ giác \[AICJ\] là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác $DEFI$ là hình thang cân.

c) $EB$ và $FD$ cắt nhau tại $K.$ Chứng minh hai tứ giác $ADKE$ và $KECF$ có diện tích bằng nhau.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ có \(AB < AC (ảnh 1)$

a) Tứ giác \[AICJ\] có hai đường chéo $AC$ và $IJ$ cắt nhau tại trung điểm của \[E\] của mỗi đường nên tứ giác \[AICJ\] là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Lại có \[\widehat {AIC} = 90^\circ \] (vì $AI$ là đường cao của tam giác $ABC)$

Suy ra tứ giác \[AICJ\] là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Xét $\Delta ABC$ có $D,\,\,E$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,AC$ nên $DE$ là đường trung bình của tam giác. Do đó $DE = \frac{1}{2}BC$ và $DE\,{\rm{//}}\,BC$ (tính chất đường trung bình).

Mà $I,\,\,F \in BC$ nên $DE\,{\rm{//}}\,IF.$

Suy ra tứ giác $DEFI$ là hình thang.

Xét tam giác $AIC$ vuông tại $I,$ có $IE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$ nên $IE = AE = EC = \frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1)

Xét $\Delta ABC$ có $D,\,\,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,BC$ nên $DF$ là đường trung bình của tam giác. Do đó $DF\,{\rm{//}}\,AC$ và $DF = \frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình) (2)

Từ (1) và (2) ta có $IE = DF\left( { = \frac{1}{2}AC} \right).$

Hình thang $DEFI$ có hai đường chéo $IE = DF$ nên $DEFI$ là hình thang cân.

c) Vì $F$ là trung điểm của $BC$ nên $BF = FC = \frac{1}{2}BC$ (tính chất đường trung bình).

Mà $DE = \frac{1}{2}BC$ (chứng minh ở câu b)

Suy ra $DE = BF.$

Xét tứ giác $BDEF$ có $DE\,{\rm{//}}\,BF$ (do $DE\,{\rm{//}}\,BC)$ và $DE = BF$ nên $BDEF$ là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo $EB$ và $FD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra $K$ là trung điểm của $FD$. Do đó $DK = KF.$

Ta có $DF\,{\rm{//}}\,AC$

Mà $K \in DF,\,\,E \in AC$ nên $DK\,{\rm{//}}\,AE,\,\,KF\,{\rm{//}}\,EC$

Do đó hai tứ giác $ADKE$ và $KECF$ là hình thang.

Từ $K$ kẻ $KM \bot AC.$ Khi đó $KM$ là chiều cao của hình thang $ADKE$ và $KECF.$

Ta có: ${S_{ADKE}} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot \left( {DK + AE} \right);$

\[{S_{KECF}} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot \left( {KF + EC} \right).\]

Mà $DK = KF$ (chứng minh trên) và $AE = EC$ (do $E$ là trung điểm của $AC)$

Suy ra ${S_{ADKE}} = {S_{KECF}}$

Vậy hai tứ giác $ADKE$ và $KECF$ có cùng diện tích.