Cho tam giác ABC có AB = a, AC = 2a, góc A = 60°. M là điểm thỏa mãn 2 vectơ MA + 3 vectơ MB = vectơ 0.

14/21

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = a\), \(AC = 2a\), \(\widehat A = 60^\circ \). \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \vec 0\).

Điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\).

ĐúngSai

\(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).

ĐúngSai

\(\overrightarrow {CM} = - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).

ĐúngSai

\(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \frac{{17}}{5}{a^2}\).

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng. \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {MB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {MA} \).

Hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \[\overrightarrow {MB} \] ngược hướng nên \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\) (nằm giữa \(A\) và \(B\)).

b) Đúng. \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \vec 0 \Leftrightarrow - 2\overrightarrow {AM} + 3\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} } \right) = \vec 0 \Leftrightarrow 5\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).

c) Sai. \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AC} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \).

d) Đúng. \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} \cdot \left( {\frac{3}{5}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} } \right) + {\overrightarrow {AC} ^2}\).

Mặt khác: \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} = - AC \cdot AB \cdot \cos 60^\circ = - 2a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = - {a^2}\).

Do đó: \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CM} = \frac{3}{5} \cdot \left( { - {a^2}} \right) + {\left( {2a} \right)^2} = - \frac{3}{5}{a^2} + 4{a^2} = \frac{{17}}{5}{a^2}\).