Cho tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm, BC = 14 cm. Các đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại I. Kéo dài AI cắt BC tại D.

39/50

Cho tam giác $ABC$ có $AB = $ 9 cm, $AC = $ 12 cm, $BC = $ 14 cm. Các đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại $I$. Kéo dài $AI$ cắt $BC$ tại $D$.

$DB = $ 6 cm và $DC = $ 8 cm.

ĐúngSai

$\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{3}{2}$.

ĐúngSai

Khoảng cách từ điểm $I$ đến đáy $BC$ bằng $\frac{3}{2}$ khoảng cách từ đỉnh $A$ đến đáy $BC$.

ĐúngSai

${S_{\Delta IBC}} = \frac{2}{3}{S_{\Delta ABC}}.$

ĐúngSai

Giải thích

$Vậy ${S_{\Delta IBC}} = \frac{2}{5}{S_{\Delta ABC}}.$ (ảnh 1)$

a) Đúng. Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là tia phân giác của góc $A$ nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}.$

Suy ra $\frac{{DB}}{3} = \frac{{DC}}{4}.$

Mà $DB + DC = BC = 14$ (cm).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{{DB}}{3} = \frac{{DC}}{4} = \frac{{DB + DC}}{{3 + 4}} = \frac{{14}}{7} = 2.$

Suy ra $DB = 6$ cm, $DC = 8$ cm.

b) Đúng. Xét $\Delta ABD$ có $BI$ là đường phân giác nên $\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{BA}}{{BD}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

c) Sai. Kẻ $IH \bot BC$ và $AK \bot BC$ khi đó $IH\,{\rm{//}}\,AK.$

Xét $\Delta ADK$ có $IH\,{\rm{//}}\,AK$ nên $\frac{{IH}}{{AK}} = \frac{{DI}}{{DA}}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Từ $\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{3}{2}$ suy ra $\frac{{ID}}{{IA}} = \frac{2}{3}$ nên $\frac{{ID}}{{IA + ID}} = \frac{2}{{3 + 2}}$ hay $\frac{{ID}}{{AD}} = \frac{2}{5}.$

Suy ra $\frac{{IH}}{{AK}} = \frac{{DI}}{{DA}} = \frac{2}{5}.$

Vậy khoảng cách từ $I$ chỉ bằng $\frac{2}{5}$ khoảng cách từ $A$ đến $BC$.

d) Sai. ${S_{\Delta IBC}} = \frac{1}{2}IH \cdot BC;\,\,{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AK \cdot BC.$

Suy ra $\frac{{{S_{\Delta IBC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}IH \cdot BC}}{{\frac{1}{2}AK \cdot BC}} = \frac{{IH}}{{AK}} = \frac{2}{5}.$

Vậy ${S_{\Delta IBC}} = \frac{2}{5}{S_{\Delta ABC}}.$