Cho tam giác ABC có AB = 9; AC = 5; cos A = 3/5. Các phát biểu sau đây đúng hay sai?

14/19

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9$; $AC = 5$; $\cos A = \frac{3}{5}$. Các phát biểu sau đây đúng hay sai?

$\sin A = - \frac{4}{5}$.

ĐúngSai

Độ dài cạnh $BC = 2\sqrt {13} $.

ĐúngSai

$\widehat {ACB}$ là góc tù.

ĐúngSai

Tồn tại duy nhất một điểm $M$ nằm trên cạnh $AB$ để $\sin \widehat {AMC} = \frac{{4\sqrt {17} }}{{17}}$.

ĐúngSai

Giải thích

$a) Sai. Ta có: \({\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - (ảnh 1)$

a) Sai. Ta có: ${\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$

mà \[{0^ \circ } < \hat A < {180^ \circ } \Rightarrow \sin A > 0 \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}\].

b) Đúng. Xét $\Delta ABC$: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A = {9^2} + {5^2} - 2.9.5.\frac{3}{5} = 52$

c) Sai. Theo định lý sin:

$\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Leftrightarrow \frac{9}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{\frac{4}{5}}} \Rightarrow \sin \widehat {ACB} = \frac{{18\sqrt {13} }}{{65}} \Rightarrow \widehat {ACB} \approx {86^ \circ }.$

d) Đúng. Với $\sin \widehat {AMC} = \frac{{4\sqrt {17} }}{{17}}$ theo định lý sin trong tam giác $AMC$:

$\frac{{AC}}{{\sin \widehat {AMC}}} = \frac{{MC}}{{\sin A}} \Rightarrow MC = \frac{{AC \cdot \sin A}}{{\sin \widehat {AMC}}} = \frac{{5 \cdot \frac{4}{5}}}{{\frac{{4\sqrt {17} }}{{17}}}} = \sqrt {17} .$

Giả sử tồn tại $M$ nằm trên cạnh $AB \Rightarrow AM \le 9$.

Xét tam giác $AMC$: Theo bất đẳng thức tam giác: $AM < AC + MC$ mà $AC + MC = 5 + \sqrt {17} \approx 9,12 > 9$.

Vậy tồn tại duy nhất điểm $M$ nằm trên cạnh $AB$ để $\sin \widehat {AMC} = \frac{{4\sqrt {17} }}{{17}}.$