Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 6 cm và diện tích bằng 14 cm2. Gọi D và E lần lượt là giao điểm của đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của góc A với đường thẳng BC. Tính diện

Đáp án: 48.

Xét ∆ABC có AD là phân giác trong của góc A nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.\)

Suy ra \(\frac{{DB}}{4} = \frac{{DC}}{3}.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{DB}}{4} = \frac{{DC}}{3} = \frac{{DB + DC}}{{4 + 3}} = \frac{{BC}}{7}.\)

Suy ra \(DC = \frac{3}{7}BC.\)

Xét ∆ABC có AE là phân giác ngoài của góc A nên \(\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{3}.\)

Vì \(\frac{{EB}}{{EC}} > 1\) nên EB > EC.

Căn cứ vào vị trí tương đối, điểm C phải nằm giữa B và E.

Ta có EB = EC + BC. Suy ra \(\frac{{EC + BC}}{{EC}} = \frac{4}{3}\).

3(EC + BC) = 4EC

3EC + 3BC = 4EC

EC = 3BC

Như vậy \(DE = DC + EC = \frac{3}{7}BC + 3BC = \frac{{24}}{7}BC\).

Xét ∆ADE và ∆ABC, hai tam giác này dùng chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống đường thẳng BC.

Tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số độ dài hai cạnh đáy tương ứng:

\(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{24}}{7}.\)

Suy ra \({S_{ADE}} = \frac{{24}}{7} \cdot {S_{ABC}} = \frac{{24}}{7} \cdot 14 = 48\) (cm²).