Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm. Kẻ đường phân giác trong AD và đường phân giác ngoài AE của góc A (D, E nằm trên đường thẳng BC). Biết DC = 6 cm. Độ dài đoạn thẳng EB là:

6/11

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6$ cm, $AC = 9$ cm. Kẻ đường phân giác trong $AD$ và đường phân giác ngoài $AE$ của góc $A$ $(D,E$ nằm trên đường thẳng $BC).$ Biết $DC = 6$ cm. Độ dài đoạn thẳng $EB$ là:

10 cm.

15 cm.

20 cm.

30 cm.

Giải thích

Chọn C

$Do đó $3EB = 2EB + 20$ nên $EB = 20$ cm. (ảnh 1)$

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là tia phân giác trong của góc $A$ nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{3}$

Suy ra $DB = \frac{2}{3} \cdot DC = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ cm.

Khi đó $BC = DB + DC = 4 + 6 = 10$ cm.

Gọi $Ax$ là tia đối của tia $AC.$

Kẻ $BF\,{\rm{//}}\,AC\,\,\left( {F \in AE} \right).$ Khi đó $\widehat {EAx} = \widehat {AFB}$ (so le trong).

Mà $\widehat {EAx} = \widehat {EAB}$ (do $AE$ là tia phân giác ngoài của góc $A)$ nên $\widehat {FAB} = \widehat {AFB}$.

Do đó $\Delta ABF$ cân tại $B$ nên $AB = BF.$

Xét $\Delta ABE$ có $BF\,{\rm{//}}\,AC$ nên $\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{BF}}{{AC}}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 1).

Mà $AB = BF$ nên $\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra $\frac{{EB}}{{EB + 10}} = \frac{2}{3}$

Do đó $3EB = 2EB + 20$ nên $EB = 20$ cm.