Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 12 cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 cm, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 8/3 cm. Gọi I là trung điểm của BC, đoạn thẳn

Đáp án: 2.

Ta có \(NC = AC - AN = 8 - \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3}\) cm.

Suy ra \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{8}{3}:8 = \frac{1}{3}\).

Mà \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) nên \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\)

Xét ∆ABC có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) nên theo định lí Thalès đảo thì MN // BC.

Qua K, kẻ KP // AB (P ∈ BC).

Tứ giác MKPB có MK // BP và KP // MB nên nó là hình bình hành.

Khi đó MK = BP.

Áp dụng định lí Thalès cho ∆ABI:

⦁ với MK // BI có \(\frac{{AK}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AB}}\)

⦁ với KP // AB có \(\frac{{BP}}{{BI}} = \frac{{AK}}{{AI}}\)

Do đó \[\frac{{BP}}{{BI}} = \frac{{AK}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AB}}\].

Lại có MK = BP nên \[\frac{{MK}}{{BI}} = \frac{{AK}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AB}}\].

Suy ra \[\frac{{MK}}{{BI}} = \frac{1}{3}\] nên \[MK = \frac{1}{3}BI.\]

Mặt khác, I là trung điểm của BC nên \(BI = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) cm.

Do đó \[MK = \frac{1}{3}BI = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2\] (cm).

Chú ý:Tỉ lệ \[\frac{{MK}}{{BI}} = \frac{{AK}}{{AI}} = \frac{{AM}}{{AB}}\] chính là hệ quả của định lí Thalès.