Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính: sin góc ABC

Lời giải

Xét tam giác ABC, có:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta được:

\({\rm{cos}}\widehat {ABC} = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{{{5^2} + {6^2} - {7^2}}}{{2.5.6}} = \frac{1}{5}\)

Ta có: \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\widehat {ABC} + {\sin ^2}\widehat {ABC} = 1\)

⇔ \({\sin ^2}\widehat {ABC} = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\widehat {ABC} = 1 - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{{24}}{{25}}\)

Vì \(\widehat {ABC}\) là góc trong tam giác nên \(0^\circ < \widehat {ABC} < 180^\circ \)

⇒ \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).

Vậy \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).