Cho tam giác ABC có AB =4 cm , BC = 5 cm . Cho AH là đường cao của .

a) Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABC\), ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\)

\(A{C^2} = {5^2} - {4^2} = 9\)

Suy ra \(AC = 3{\rm{ cm}}\).

b) Xét \(\Delta HAB\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \) và \(\widehat {HBA} = \widehat {ABC}\) (góc chung)

Do đó,  (g.g).

Xét \(\Delta HAC\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat {AHC} = \widehat {CAB} = 90^\circ \) và \(\widehat {HCA} = \widehat {ACB}\) (góc chung)

Do đó,  (g.g).

Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) hay \(A{C^2} = CH.BC\) (đpcm).

c) Ta có:  (g.g) nên \(\frac{{BH}}{{HA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Mà \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AH,BH\) nên \(\frac{{2NB}}{{2MA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\frac{{NB}}{{MA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Xét \(\Delta ANB\) và \(\Delta CMA\), có:

\(\widehat {CAM} = \widehat {NBA}\) () và \(\frac{{NB}}{{MA}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Suy ra  (c.g.c).