Cho tam giác ABC có AB = 4 căn bậc hai của 2, AC = 6, góc BAC = 45 độ. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC và E là điểm trên cạnh AC sao cho AE = 5/6 AC.

a) SAI.\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos {45^ \circ } = 4\sqrt 2 \cdot 6 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 24 \ne 20\).

b) ĐÚNG. Vì \(D\) là trung điểm \(BC\), theo công thức trung điểm ta có: \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) SAI. Chèn điểm \(A\) vào \(\overrightarrow {BE} \): \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} \).

Đề bài ghi \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} \) (thiếu dấu trừ ở \(\overrightarrow {AB} \)) nên khẳng định này Sai.

d) SAI. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} \):

\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = - \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{5}{{12}}A{C^2}\)

\( = - \frac{1}{2}A{B^2} - \frac{1}{{12}}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{5}{{12}}A{C^2}\).

Thay \(AB = 4\sqrt 2 \Rightarrow A{B^2} = 32\), \(AC = 6 \Rightarrow A{C^2} = 36\), và \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 24\) ta được:

\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = - \frac{1}{2} \cdot 32 - \frac{1}{{12}} \cdot 24 + \frac{5}{{12}} \cdot 36 = - 16 - 2 + 15 = - 3 \ne 0\).

Do \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} \ne 0\) nên \(AD\) không vuông góc với \(BE\).