Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 6 cm và BC = 6 cm. Gọi AD là đường phân giác trong và AE là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác (D và E đều nằm trên đường thẳng chứa cạnh BC). K

Chọn A

Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là đường phân giác trong của tam giác nên \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(CD = 2BD.\)

Mà \(BD + CD = BC = 6\) cm, nên \(BD + 2BD = 6\) suy ra \(3BD = 6,\) do đó \(BD\) = 2 cm.

Vì \(AE\) là đường phân giác ngoài của \(\Delta ABC\) nên \(\widehat {xAE} = \widehat {EAB}.\)

Kẻ \(BF\,{\rm{//}}\,AC\,\,\left( {F \in AE} \right).\) Khi đó \(\widehat {xAE} = \widehat {AFB}.\)

Suy ra \(\widehat {AFB} = \widehat {FAB}\) nên \(\Delta ABF\) cân tại \(B.\) Do đó \(AB = BF.\)

Xét \(\Delta AEC\) có \(BF\,{\rm{//}}\,AC\) nên \(\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{BF}}{{AC}}\) (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Suy ra \(\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2}.\)

Ta có \(EC = EB + BC = EB + 6\).

Do đó \(\frac{{EB}}{{EB + 6}} = \frac{1}{2}\) nên \(2EB = EB + 6,\) suy ra \(EB\) = 6 cm.

Vậy \(DE = BD + EB = 2 + 6 = 8\) cm.