Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, góc A = 120 độ. a) Tính AB. AC và suy ra độ dài BC. b) Tính độ dài trung tuyến AM

a) Ta có: \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} \cdot \overrightarrow {{\rm{AC}}} = \left| {\overrightarrow {{\rm{AB}}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{\rm{AC}}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{\rm{AB}}} ,\overrightarrow {{\rm{AC}}} } \right) = 2 \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ = - 3.\)

Áp dụng định lý cô sin vao tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos\(\widehat {{\rm{BAC}}}\) = 2² + 3² – 2.2.3.cos120^o = 19 nên BC = \(\sqrt {19} \).

b) Ta có: \({\rm{A}}{{\rm{M}}^2} = \frac{{2\left( {{\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{C}}^2}} \right) - {\rm{B}}{{\rm{C}}^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{2^2} + {3^2}} \right) - 19}}{4} = \frac{7}{4}\) nên AM = \(\frac{{\sqrt 7 }}{2}\).