Cho tam giác ABC có AB = 14 cm, AC = 20 cm. Đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D. Gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng song song với AD, đường thẳng này cắt đường thẳ

30/50

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 14$ cm, $AC = 20$ cm. Đường phân giác trong của góc $A$ cắt cạnh $BC$ tại $D$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AD$, đường thẳng này cắt đường thẳng $AB$ tại $E$ và cắt đường thẳng $AC$ tại $F$. Độ dài đoạn thẳng $AE$ là

3 cm.

17 cm.

6 cm.

7 cm.

Giải thích

Chọn A

$⦁ Chưa đủ cơ sở để khẳng định $MN = AD.$ (ảnh 1)$

Vì $AD\,{\rm{//}}\,EM$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {AEF}$ (đồng vị) và $\widehat {CAD} = \widehat {AFE}$ (so le trong).

Mặt khác, $AD$ là tia phân giác của góc $A$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {CAD}$.

Từ đó suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {AFE}$, do đó $\Delta AEF$ là tam giác cân tại $A$.

Suy ra $AE = AF$.

Xét $\Delta BEM$ có $AD\,{\rm{//}}\,EM$ nên $\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{BM}}{{BD}}$ (định lí Thalès) suy ra $BM = \frac{{BD \cdot BE}}{{BA}}.$

Xét $\Delta CAD$ có $FM\,{\rm{//}}\,AD$ nên $\frac{{CF}}{{CA}} = \frac{{CM}}{{CD}}$ (định lí Thalès) suy ra $CM = \frac{{CD \cdot CF}}{{CA}}.$

Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = CM$

Suy ra $\frac{{BD \cdot BE}}{{BA}} = \frac{{CD \cdot CF}}{{CA}}$

$\frac{{BD \cdot BE}}{{CD}} = \frac{{BA \cdot CF}}{{CA}}$

$\frac{{BD}}{{CD}} \cdot BE = \frac{{BA}}{{CA}} \cdot CF$ (1)

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là tia phân giác của góc $A$ nên $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{BA}}{{CA}}.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BE = CF$.

Nên $AB + AE = AC - AF$

$AE + AF = AC - AB$

Mà $AE = AF$ nên $2AE = AC - AB = 20 - 14 = 6$ (cm).

Suy ra $AE = 3$ cm.