Cho tam giác ABC có AB = 10 cm và AC = 15 cm. Gọi AD là đường phân giác của góc A. Kẻ đường trung bình MN của tam giác ABC (M thuộc AB, N thuộc AC). Đường thẳng MN cắt phân giác AD tại điểm I

28/50

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 10{\rm{ cm}}$ và $AC = 15{\rm{ cm}}$. Gọi $AD$ là đường phân giác của góc $A$. Kẻ đường trung bình $MN$ của tam giác $ABC$ $(M \in AB,\,\,N \in AC).$ Đường thẳng $MN$ cắt phân giác $AD$ tại điểm $I$. Tỉ số độ dài $\frac{{IM}}{{IN}}$ bằng

$\frac{2}{3}$.

$\frac{3}{2}$.

$1$.

$\frac{1}{2}$.

Giải thích

Chọn A

$Vì $DE\,{\rm{//}}\,AB$ nên \(\frac{{AE} (ảnh 1)$

Vì $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $MN\,{\rm{//}}\,BC$ và $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,AC.$

Suy ra $AM = \frac{1}{2}AB,\,\,AN = \frac{1}{2}AC.$

Xét $\Delta ABD$ có $IM\,{\rm{//}}\,BD$ nên $\frac{{MI}}{{BD}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Tương tự xét $\Delta ACD$, ta có $\frac{{IN}}{{DC}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2}$.

Suy ra \[\frac{{MI}}{{BD}} = \frac{{IN}}{{DC}}.\] Do đó $\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{BD}}{{CD}}$.

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác của góc $A$ $\left( {D \in BC} \right)$ nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}.$

Do đó $\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{2}{3}.$