Cho tam giác ABC có A(2; -1); B(2; -2) và C(0; -1). Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

20/20

$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\frac{3}{\sqrt{5}}$

$\frac{2}{3 - \sqrt{5}}$

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\vec{B C} = (- 2; 1)$ ⇒ BC = $\sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$

$\vec{A B} = (0; - 1)$ ⇒ AB = $\sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}} = 1$ ;

$\vec{A C} = (- 2; 0)$ ⇒ AC = $\sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}} = 2$ .

Đường thẳng BC nhận $\vec{B C}$ là một vectơ chỉ phương , do đó đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 2)$ và đi qua điểm C(0; -1).

Khi đó phương trình đường thẳng BC là: x + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y + 2 = 0

⇒ d(A; BC) = $\frac{|2 + 2. (- 1) + 2|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}}$ = $\frac{2}{\sqrt{5}}$

⇒S_ABC = $\frac{1}{2}$ .d(A; BC) . BC = $\frac{1}{2} . \frac{2}{\sqrt{5}} . \sqrt{5}$ = 1 (đvdt)

Mặt khác, ta có: S_ABC = p.r

Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

r = $\frac{S_{A B C}}{p}$ = $\frac{1}{(\frac{1 + 2 + \sqrt{5}}{2})}$ = $\frac{2}{3 + \sqrt{5}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$