Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng tan A/ 2 , tan B/ 2 , tan C /2 lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi cos A , cos B , cos C lập thành cấp số cộng.

33/33

Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(\tan \frac{A}{2},\tan \frac{B}{2},\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi \(\cos A,\cos B,\cos C\) lập thành cấp số cộng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Khi \(\tan \frac{A}{2},\tan \frac{B}{2},\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng, ta có:

\[2\tan \frac{B}{2} = \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2} \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{\cos \frac{A}{2}}} + \frac{{\sin \frac{C}{2}}}{{\cos \frac{C}{2}}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2} + \cos \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}}{{\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right)}}{{\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\sin \left( {90^\circ - \frac{B}{2}} \right)}}{{\cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{2\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = \frac{{\cos \frac{B}{2}}}{{\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{C}{2}} \right)} \right]}}\]

\( \Leftrightarrow \sin \frac{B}{2} \cdot \left[ {\cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{A - C}}{2}} \right)} \right] = {\cos ^2}\frac{B}{2}\)

\[ \Leftrightarrow \sin \frac{B}{2} \cdot \left( {\sin \frac{B}{2} + \cos \frac{{A - C}}{2}} \right) = {\cos ^2}\frac{B}{2}\]

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\frac{B}{2} + \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{{A - C}}{2} = {\cos ^2}\frac{B}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{B + A - C}}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{{B - A + C}}{2}} \right)} \right] = {\cos ^2}\frac{B}{2} - {\sin ^2}\frac{B}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {90^\circ - C} \right) + \sin \left( {90^\circ - A} \right)} \right] = \cos B\)

\( \Leftrightarrow \cos C + \cos A = 2\cos B \Rightarrow \)\(\cos A,\cos B,\cos C\) lập thành cấp số cộng.