Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cotA + cotB + cotC

Đặt BC = a, AC = b, AB = c.

Ta có: cotA = cosAsinA mà theo hệ quả định lí côsin cosA = b2+c2−a22.b.c ;

Vì S=12bcsinA ⇒ sinA = 2Sbc

Do đó cotA = cosAsinA=b2+c2−a22bc2Sbc=b2+c2−a24S

Tương tự, ta có : cotB = a2+c2−b24S; cotC = a2+b2−c24S;

Suy ra: cotA + cotB + cotC = b2+c2−a24S+ a2+c2−b24S+ a2+b2−c24S= a2+b2+c24S

Mặt khác S = abc4R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Suy ra: cotA + cotB + cotC =

a2+b2+c24S=a2+b2+c24.abc4R=R(a2+b2+c2)abc

Vậy cotA + cotB + cotC = R(a2+b2+c2)abc