Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

+) Giả sử tam giác ABC có trọng tâm G, ta cần chứng minh MA→+MB→+MC→=3MG→.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA→+GB→+GC→=0→.

Với điểm M bất kì ta có: MA→=MG→+GA→, MB→=MG→+GB→, MC→=MG→+GC→.

Khi đó: 

MA→+MB→+MC→=(MG→+GA→)+(MG→+GB→)+(MG→+GC→)

=3MG→+(GA→+GB→+GC→) =3MG→+0→=3MG→.

Vậy MA→+MB→+MC→=3MG→.

+) Giả sử tam giác ABC có 2 điểm M, G thỏa mãn MA→+MB→+MC→=3MG→, ta cần chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: MA→+MB→+MC→=3MG→

⇔MA→+MB→+MC→−3MG→=0→

⇔(MA→−MG→)+(MB→−MG→)+(MC→−MG→)=0→

⇔GA→+GB→+GC→=0→

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.