Cho tam giác ABC. Cho M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Điểm O bất kì. Chứng minh đẳng thức: vecto OA+vecto OB+vecto OC=vecto OM+vecto ON+vecto OP.

Giả sử \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \] là đúng

\[\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OP} - \overrightarrow {OB} = 0\]

\[\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {BP} = 0\] (1)

Vì N là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NC} \).

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình và P là trung điểm BC

\(MN = \frac{1}{2}BC = BP\) nên \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BP} \)

Phương trình (1) trở thành \(\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MN} = 0\)

\[\left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CM} } \right) + \overrightarrow {MN} = 0\]

\[\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MN} = 0\] (luôn đúng)

Vậy đẳng thức trên là đúng.