Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định. Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác ABM vuông cân tại B, tam giác CAN vuông cân tại C.

Gọi O là trung điểm của MN.

Vẽ OF⊥BC;AH⊥BC;MD⊥BC và NE⊥BC

Ta có: OF//AH//MD//NE.

 

ΔBMD=ΔABH(cạnh huyền – góc nhọn)

=> MD = BH và BD = AH

Tương tự, ΔCNE=ΔACH

=> NE = CH và CE = AH      (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD = CE (=AH).

Dễ thấy OF là đường trung bình của hình thang MDEN

⇒OF=MD+NE2=BH+CH2=BC2 (không đổi).

Ta có: FD=FE;BD=CE⇒FB=FC.

Vậy O nằm trên đường trung trực của BC và cách BC một khoảng không đổi là BC2. Do đó O là một điểm cố định.

Suy ra MN đi qua một điểm cố định là điểm O.