Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, biết độ dài cạnh đáy BC, đường cao AH và cạnh

13/235

Cho tam giác \(ABC\) cân tại đỉnh \(A\), biết độ dài cạnh đáy \(BC\), đường cao \(AH\) và cạnh bên \(AB\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội \(q\). Giá trị của \({q^2}\) bằng:

\(\frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\).

\(\frac{{\sqrt 2 + 1}}{2}\).

\(\frac{{\sqrt 2 - 1}}{2}\).

\(\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính chất của cấp số nhân

Lời giải

Đặt \(BC = a;AB = AC = b;AH = h\). Theo giả thiết ta có \(a,h,b\) lập cấp số nhân, suy ra\({h^2} = ab\). Mặt khác tam giác \(ABC\) cân tại đỉnh \(A\) nên \({h^2} = m_a^2 = \frac{{{b^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\)

Do đó \(\frac{{{b^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = ab \Leftrightarrow {a^2} + 4ab - 4{b^2} = 0 \Leftrightarrow a = \left( {2\sqrt 2 - 2} \right)b\)

Lại có \(b = {q^2}a\) nên suy ra \({q^2} = \frac{b}{a} = \frac{1}{{2\sqrt 2 - 2}} = \frac{{2\sqrt 2 + 2}}{4} = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{2}\).