Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I, K lần lượt là điểm trên BH và CH sao cho HE = HI, HF = HK. Gọi M là trung điểm của AH và O là trung điểm của BC.

a) Đúng.

Có \[\Delta BFC\] vuông tại \[F\] nên \[B,\,\,F,\,\,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Có \[\Delta BEC\] vuông tại \[E\] nên \[B,\,\,E,\,\,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Do đó, \[B,\,\,F,\,\,E,\,\,C\] cùng thuộc đường tròn tâm \[O\] đường kính \[BC\].

b) Đúng.

\[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có \[BE,\,\,CF\] là hai đường cao nên \[BE = CF\].

Và \[AH\] vừa là đường cao vừa là đường phân giác \[\widehat {BAC}\].

Ta chứng minh được \[\Delta AFH = \Delta AEH\] (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \[HF = HE.\]

Do đó, \[HF = HE = HI = HK\] nên \[E,\,\,F,\,\,I,\,\,K\] cùng thuộc một đường tròn.

c) Đúng.

Bốn điểm \[E,\,\,F,\,\,I,\,\,K\] cùng thuộc đường tròn tâm \[H\] bán kính \[HE\].

\[\Delta AEH\] vuông tại \[E\] có \[EM\] là trung tuyến nên \[ME = MH = MA\].

Do đó, \[\Delta HME\] là tam giác cân tại \[M\].

d) Đúng.

Để \[M\] thuộc đường tròn \[\left( {H;\,\,HE} \right)\] thì \[HM = HE\] khi đó \[\Delta HME\] là tam giác đều.

Suy ra \[\widehat {MHE} = 60^\circ \], do đó \[\widehat {HAE} = 30^\circ \] suy ra \[\widehat {BAC} = 60^\circ \].

Vậy \[\Delta ABC\] đều thì điểm \[M\] thuộc đường tròn \[\left( H \right)\].