Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Vẽ hai đường cao AE và AF của hai tam giác ABC và ACD. Chứng minh góc EAF vuông.
Giải thích
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Mà AB = AD (vì A là trung điểm của BD).
Suy ra AC = AD = AB.
Xét ΔAEB và ΔAEC có:
AEB^=AEC^=90°,
Cạnh AE là cạnh chung,
AB = AC (chứng minh trên).
Do đó ΔAEB = ΔAEC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BAE^=CAE^ (hai góc tương ứng).
Xét ΔACF và ΔADF có:
AFC^=AFD^=90°,
Cạnh AF là cạnh chung,
AC = AD (chứng minh trên).
Do đó ΔAFC = ΔAFD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra FAC^=FAD^ (hai góc tương ứng).
Ta có BAE^+CAE^+FAC^+FAD^=180°
Mà BAE^=CAE^, FAC^=FAD^(chứng minh trên).
Suy ra 2EAC^+2FAC^=180°
Hay 2EAC^+FAC^=180°:2=90°
Do đó EAF^=90°.
Vậy góc EAF vuông.