Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ AH vuông góc với BC tại H. a) Chứng minh: tam giác AHB = tam giác AHC. b) Vẽ đường trung tuyến BM của tam giác ABC. Trên tia đối của tia MB, lấy điểm K sao ch

a.

Xét \(\Delta AHB\)và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat {AHB}\,\, = \,\,\widehat {AHC} = 90^\circ \) (Vì AH vuông góc với BC tại H)

AB = AC (Vì \(\Delta ABC\) cân tại A)

AH là cạnh chungSuy ra \(\Delta AHB\,\, = \,\,\Delta AHC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)b. 

Xét \(\Delta BMC\)và \(\Delta KMA\), ta có:

\(\widehat {BMC}\,\, = \,\,\widehat {KMA}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

MA = MC (Vì BM là trung tuyến của \(\Delta ABC\))

MB = MK (gt)

Suy ra \(\Delta BMC\,\, = \,\,\Delta KMA\) (c-g-c)

Nên Suy ra \(\widehat {KAM}\,\, = \,\,\widehat {BCM}\) ( 2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ABC}\,\, = \,\,\widehat {BCM}\) (Vì \(\Delta ABC\) cân tại A)

Nên \(\widehat {KAM\,}\, = \,\,\widehat {ABC}\)

c. 

Theo câu a) \(\Delta AHB\,\, = \,\,\Delta AHC\) nên BH = CH (vì 2 cạnh tương ứng)

Nên AH là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

Xét \(\Delta ABC\) có 2 đường trung tuyến AH và BM cắt nhau lại O.

Nên O là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

Suy ra: \(OM = \frac{1}{3}.\,\,BM\) và \(OB = \frac{2}{3}.\,\,BM\) (1)

Xét \(\Delta OHB\)và \(\Delta OHC\) có:

\(\widehat {OHB}\,\, = \,\,\widehat {OHC} = 90^\circ \); HB = HC (cmt); OH là cạnh chung

Suy ra: \(\Delta OHB = \Delta OHC\) (c-g-c)

Nên OB = OC (hai cạnh tương ứng) (2)

Ta có: OK = OM + MK

Suy ra: OK = \(\frac{1}{3}.\,\,BM\) + BM (Vì MK = BM và \(OM = \frac{1}{3}.\,\,BM\))

Vậy OK = \(\frac{4}{3}.\,\,BM\) (3)

Từ (1) và (2) suy ra: \(OC = \frac{2}{3}.\,\,BM\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: OK = \(2.\,\left( {\frac{2}{3}.\,\,BM} \right)\)=\(2.\,OC\)