Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, I là trung điểm AC. Gọi N là điểm đối xứng của M qua I. Gọi E, K lần lượt là trung điểm AM, AB

9/20

Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A,\] trung tuyến \[AM,\;\]\[I\] là trung điểm \[AC.\] Gọi \[N\] là điểm đối xứng của \[M\] qua \[I\].Gọi \[E,\,\,K\] lần lượt là trung điểm \[AM,\,\,AB.\]

a) Tứ giác \[AMCN\] là hình thoi.

b) \[E\] là trung điểm \[BN.\]

c) \(AK = AI.\)

d) Điều kiện của \[\Delta ABC\] để tứ giác \[AKMI\] là hình vuông thì \(\widehat {KAI} = 45^\circ .\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, I là trung điểm AC. Gọi N là điểm đối xứng của M qua I. Gọi E, K lần lượt là trung điểm AM, AB (ảnh 1)

Đáp án: a) S. b) Đ. c) Đ. d) S.

⦁ Do \[N\] là điểm đối xứng của \[M\] qua \[I\] nên \(I\) là trung điểm của \(MN.\)

Xét tứ giác \(AMCN\) có \(I\) là trung điểm của hai đường chéo \(AC,MN\) nên \(AMCN\) là hình bình hành.

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường trung tuyến \(AM\) nên \(AM\) là đường cao của tam giác hay \(\widehat {AMC} = 90^\circ \).

Hình bình hành \(AMCN\) có \(\widehat {AMC} = 90^\circ \) nên \(AMCN\)là hình chữ nhật.Do đó ý a) sai.

⦁ Do \(AMCN\)là hình chữ nhật nên \(AN\,{\rm{//}}\,MC\) và \(AN = MC.\)

Lại có \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC\).

Do đó \(AN = MB\,\,\left( { = MC} \right)\).

Xét tứ giác \(ANMB\) có \(AN\,{\rm{//}}\,MB\) (do \(AN\,{\rm{//}}\,MC)\) và \(AN = MB\) nên \(ANMB\) là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo \[AM,BN\] cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lại có \(E\) là trung điểm của \(AM\) nên \(E\) cũng là trung điểm của \(BN\).Do đó ý b) đúng.

⦁ Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).

Lại có \(K,I\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\) nên \(AK = BK = \frac{1}{2}AB\) và \(AI = CI = \frac{1}{2}AC\)

Do đó \(AK = AI.\) Do đó ý c) đúng.

⦁Tứ giác \(ANCM\) là hình chữ nhật nên \(AC = MN\) và \(I\) là trung điểm của \(AC,MN.\)

Suy ra \(AI = MI.\)

Do đó \(AK = MI = AI\).

Ta có: \(ANMB\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,MN\) hay \(AK\,{\rm{//}}\,MI\).

Tứ giác \(AKMI\) có \(AK = MI\) và \(AK\,{\rm{//}}\,MI\) nên \(AKMI\) là hình bình hành.

Lại có \(AK = AI\) nên \(AKMI\) là hình thoi.

Để \(AKMI\) là hình vuông thì cần thêm điều kiện \(\widehat {KAI} = 90^\circ \), khi đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Vậy để \(AKMI\) là hình vuông thì tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\).

Thật vậy, khi tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) ta dễ dàng chứng minh được \(AKMI\) là hình thoi có \(\widehat {KAI} = 90^\circ \) nên là hình vuông.Do đó ý d) sai.