Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB và AC lấy lần lượt hai điểm H và K sao cho AH = AK.

a) Do \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] (gt)

\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\,;\,\,AB = AC\] (tính chất tam giác cân)

Mà AH = AK (gt) nên \[AB--AH = AC--AK\]hay \[BH = CK\].

Xét \[\Delta BHC\]và \[\Delta CKB\]có:

\[BC\] chung; \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\]; \[BH = CK\] (cmt)

Do đó \[\Delta BHC = \Delta CKB\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\]

Suy ra \[CH = BK\](2 cạnh tương ứng)

b) Do \[\Delta BHC = \Delta CKB\,\,{\rm{(cmt)}}\]

Suy ra \[\widehat {BHO} = \widehat {CKO}\](2 góc tương ứng)

Mà \[\widehat {BOH} = \widehat {COK}\] (hai góc đối đỉnh)

\[\widehat {OBH} = \widehat {OCK}\,\,( = 180^\circ - \widehat {BOH} - \widehat {BHO} = 180^\circ - \widehat {CKO} - \widehat {COK})\]

Xét \[\Delta HOB\]và \[\Delta KOC\]có:

\[\widehat {BHO} = \widehat {CKO}\,\,{\rm{(cmt)}}\]; \[BH = CK\,\,{\rm{(cmt)}}\]; \[\widehat {OBH} = \widehat {OCK}\,\,{\rm{(cmt)}}\]

Do đó \[\Delta HOB = \Delta KOC\,\,{\rm{(g}}{\rm{.c}}{\rm{.g)}}\]

c) Do AB = AC (cmt) nên \[A\] thuộc đường trung trực \[BC.\]

    Do OB = OC (\[\Delta HOB = \Delta KOC\]) nên  O  thuộc đường trung trực \[BC.\]

Do đó \[AO\] là trung trực của \[BC.\]

Mà \[AO\] cắt \[BC\] tại \[I,\] nên \[AI\] là trung trực của \[BC.\]

Suy ra \[AI \bot BC\] tại I nên \[\widehat {AIB} = 90^\circ \]

Xét tam giác AIB có, \[\widehat {AIB} = 90^\circ \]

Suy ra  \[AB > AI\] (quan hệ đường vuông góc, đường xiên)