Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng OE vuông góc với CD.

Lời giải

Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm của tam giác ABC

Nối E với G; O với D

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(MG = \frac{1}{3}MB\)

Vì E là trọng tâm của tam giác ACD nên \(ME = \frac{1}{3}MD\)

Xét tam giác DMB có \(\frac{{MG}}{{MB}} = \frac{{ME}}{{M{\rm{D}}}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)

Suy ra EG // AB (Định lí Ta lét)

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao của 3 đường trung trực

Suy ra OD là đường trung trực của AB

Do đó OD ⊥ AB

Mà EG // AB, suy ra EG ⊥ OD (1)

Xét tam giác ABC cân tại A có AO là đường trung trực nên đồng thời là đường trung tuyến

Mà AG cũng là đường trung tuyến (Vì G là trọng tâm tam giác)

Suy ra AO trùng với AG

Hay A; O; G thẳng hàng.

Mặt khác AO ⊥ BC (vì AO là đường trung trực của đoạn BC)

DM // BC (vì DM là đường trung bình của tam giác ABC) 

Suy ra AO ⊥ BC hay OG ⊥BC   (2)

Từ (1) và (2) suy ra OD và OG là hai đường cao của tam giác DEG

Mà OD cắt OG tại O, suy ra O là trực tâm của tam giác DEG 

Do đó OE ⊥ DG hay OE ⊥ DC

Vậy OE ⊥ DC.