Cho tam giác ABC cân tại A. Một đường thẳng d song song với BC cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E. Gọi I là giao điểm của BE và CD. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tứ giác BDEC có DE // BC nên BDEC là hình thang.

Lại có \(\widehat B = \widehat C\) (vì ABC là tam giác cân tại A) nên BDEC là hình thang cân.

b) Đúng. Xét ∆BCD và ∆CBE có:

BC là cạnh chung, \(\widehat {BCD} = \widehat {CBE}\), CD = BE (vì BDEC là hình thang cân)

Do đó ∆BCD = ∆CBE (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\).

Nên ∆IBC cân tại I. Khi đó IB = IC.

c) Đúng. Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Mà BD = CE (vì BDEC là hình thang cân) nên AD = AE.

Suy ra A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Lại có IB = IC, mà CD = BE (do BDEC là hình thang cân) nên ID = IE, suy ra I cũng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Do đó AI chính là đường trung trực của DE.

Suy ra AI ⊥ DE.

d) Sai. Vì AI là đường trung trực của DE suy ra AI ⊥ DE.

Mà DE // BC nên AI ⊥ BC.