Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường phân giác AD của góc A (D thuộc BC). Kẻ đường trung bình MN của tam giác ABC (M thuộc AB, N thuộc AC). Đường thẳng MN cắt AD tại điểm I. Khẳng định nào sa

29/50

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Kẻ đường phân giác $AD$ của góc $A$ $\left( {D \in BC} \right).$ Kẻ đường trung bình $MN$ của tam giác $ABC$ $(M \in AB,\,\,N \in AC).$ Đường thẳng $MN$ cắt $AD$ tại điểm $I$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Đoạn thẳng $MN$ có độ dài bằng đoạn thẳng $AD$.

Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$.

Đoạn thẳng $MI$ có độ dài bằng một phần tư đoạn thẳng $BC$.

Giải thích

Chọn A

$⦁ Chưa đủ cơ sở để khẳng định $MN = AD.$ (ảnh 1)$

⦁ Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên đường phân giác $AD$ đồng thời là đường trung tuyến của tam giác, nên $D$ là trung điểm của $BC.$ Do đó $DB = DC.$

Vì $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $MN\,{\rm{//}}\,BC$ và $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,AC.$

Suy ra $AM = \frac{1}{2}AB,\,\,AN = \frac{1}{2}AC.$

Xét $\Delta ABD$ có $IM\,{\rm{//}}\,BD$ nên $\frac{{MI}}{{BD}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Tương tự xét $\Delta ACD$, ta có $\frac{{IN}}{{DC}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2}$.

Suy ra \[\frac{{MI}}{{BD}} = \frac{{IN}}{{DC}}.\] Do đó $\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{BD}}{{CD}}$.

Mà $DB = DC$ nên $IM = IN,$ suy ra $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

⦁ Xét $\Delta ABC$ có $MN$ là đường trung bình của tam giác nên $MN\,{\rm{//}}\,BC.$

Xét $\Delta ABD$ có $MI\,{\rm{//}}\,BD$ và $M$ là trung điểm của $AB$ nên $MI$ là đường trung bình của tam giác, do đó điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$.

⦁ Mặt khác, vì $MI$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ nên $MI = \frac{1}{2}BD$ mà $BD = \frac{1}{2}BC$ (do $D$ là trung điểm của $BC)$ nên $MI = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}BC = \frac{1}{4}BC.$

⦁ Chưa đủ cơ sở để khẳng định $MN = AD.$