Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH⊥BC tại H. (a) Chứng minh ΔAHB=ΔAHC, từ đó suy ra H là trung điểm của BC. (b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho AB=BE. Gọi I là trung điểm của EC,BC

a) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \);

\(AB = AC\) (do \[\Delta ABC\] cân tại \(A\))

\(AH\) là cạnh chung.

Do đó \(\Delta AHB = \Delta AHC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(HB = HC\) (hai cạnh tương ứng)

Khi đó \(H\) là trung điểm của \(BC\).

b) • Xét \(\Delta AEC\) có \(AI,CB\) là hai đường trung tuyến của tam giác và \(AI,CB\) cắt nhau tại \(M\) nên \(M\) là trọng tâm của \(\Delta AEC\).

Do đó \(BM = \frac{1}{3}BC\)

Mà \(BC = 2BH\) (do \(H\) là trung điểm của \(BC\)).

Suy ra \(BM = \frac{1}{3}.2BH\) hay \(2BH = 3BM\).

• Ta có \(BM = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}.6 = 2\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

c) Ta có \(BM = \frac{1}{3}.2BH\) suy ra \(HM = BH - BM = BH - \frac{2}{3}BH = \frac{1}{3}BH\)

Do đó \(HM = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}BC = \frac{1}{6}BC\) hay \(6HM = BC\).

Xét \(\Delta ABC\) ta có \(AB + AC > BC\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra \(AB + AC > 6HM\).