Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Lấy N là trung điểm của cạnh AC, hai đoạn thẳng BN và AH cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia NG lấy điểm K sao cho NK=NG.

a) Tam giác ABC cân tại A nên \(AB = AC\).

Ta có \(AH \bot BC\) nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Do đó \(\Delta ABH = \Delta ACH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Chứng minh \(\Delta AGN = \Delta CKN\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\)

Suy ra \(\widehat {AGN} = \widehat {CKN}\,\)(hai góc tương ứng).

Mà \[\widehat {AGN}\,;\,\,\widehat {CKN}\,\]là hai góc ở vị trí so le trong suy ra \(AG\,{\rm{//}}\,CK\)(dhnb) hay \(AH\,{\rm{//}}\,CK\)

Mà\(AH \bot BC\) nên \(CK \bot BC\)

c) Chứng minh được G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra \(BG = \frac{2}{3}BN\) nên \(BG = 2GN\)(1)

Mà N là trung điểm của GK (do NK = NG) nên \(GK = 2GN\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BG = KG\).

Do đó G là trung điểm của BK.

Vậy I là trọng tâm của tam giác BCK.

d) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh \(GM < \frac{1}{4}(BC + AG)\).

Chứng minh được BK = 4GN và \(BK < BC + KC\)

Chứng minh được AG = KC; GM = GN nên \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\).