Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC; ABC^=ACB^ (tính chất)

BN là trung tuyến nên AN = NC = 12AC

CP là trung tuyến nên AP = BP = 12AB 

Do đó: AN = NC = AP = BP

Xét ∆BNC và ∆CPB có

NC = PB (chứng minh trên)

NCB^=PBC^

BC là cạnh chung

Suy ra ∆BNC = ∆CPB (c.g.c)

Do đó BN = CP (2 cạnh tương ứng)

BN và CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC

Do đó BG=23BN; CG=23CP (tính chất trọng tâm)

Mà BN = CP (chứng minh trên)

Suy ra BG = CG ⇒ Tam giác GBC cân tại G.

AG cắt BC tại M nên M là trung điểm của BC.

Xét ∆ABM và ∆ACM có

AB = AC

BM = CM (vì M là trung điểm của BC)

AM là cạnh chung

Suy ra ∆ABM và ∆ACM (c.c.c)

Do đó AMB^=AMC^ (hai góc tương ứng)

Mà AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù)

Nên AMB^=AMC^=90°

Suy ra AM ⊥ BC hay AG ⊥ BC

Vậy AM = BN là kết luận sai.