Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
GT | \[\Delta ABC\] có \[AB = CA\,;\,\,MB = MC\] \[N\] thuộc tia đối của tia \[MA\] \[MN = MA\] |
KL | a) \[\Delta ABM = \Delta ACM\] b) \[AM\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}.\] c) \[BN\,{\rm{//}}\,AC\] |
a) Xét \[\Delta ABM\]và \[\Delta ACM\] có:
\[AB = AC\] (\[\Delta ABC\] cân tại \[A\])
\[MB = MC\] (gt)
\[AM\] là cạnh chung
Do đó \[\Delta ABM = \Delta ACM\,\,{\rm{(c}}{\rm{.c}}{\rm{.c)}}\]
b) Vì \[\Delta ABM = \Delta ACM\](câu a) suy ra \[\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\] (2 góc tương ứng)
Lại có tia \[AM\] nằm giữa hai tia \[AB\] và \[AC.\]
Suy ra \[AM\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}.\]
c) Xét \[\Delta CMA\] và \[\Delta BMN\] có:
\[MC = MB\] (gt); \(\widehat {AMC} = \widehat {NMB}\) (đối đỉnh); \[MA = MN\] (gt)
Do đó \[\Delta CMA = \Delta BMN\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\]
Suy ra \(\widehat {ACM}\; = \;\widehat {NBM}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {ACM}\) và\(\;\widehat {NBM}\) ở vị trí so le trong suy ra \[BN{\rm{ // }}AC\].