Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác ACM b) Qua M kẻ MH,MK lần lượt vuông góc với AB, AC (H thuộc AB, K thuộc AC.Chứng minh MH = MK

a) Xét \[\Delta ABM\] và \[\Delta ACM\] có:

\[AB = AC\] (do \[\Delta ABC\] cân tại \[A\]);

\[AM\] là cạnh chung;

\[MB = MC\] (do \[M\] là trung điểm của \[BC\]).

Do đó \[\Delta ABM = \Delta ACM\] (c.c.c).

b) Do \[\Delta ABM = \Delta ACM\] (câu a) nên \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (hai góc tương ứng).

Xét \[\Delta AHM\] và \[\Delta AKM\] có:

\(\widehat {AHM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \);

\[AM\] là cạnh chung;

\(\widehat {HAM} = \widehat {KAM}\) (do \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\))

Do đó \[\Delta AHM = \Delta AKM\] (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \[MH = MK\] (hai cạnh tương ứng).

c) Do \[\Delta AHM = \Delta AKM\] (câu b) nên \[AH = AK\] (hai cạnh tương ứng).

Xét \[\Delta AHI\] và \[\Delta AKJ\] có:

\(\widehat {AHI} = \widehat {AKJ} = 90^\circ \);

\[AH = AK\] (chứng minh trên);

\(\widehat {JAI}\) là góc chung.

Do đó \[\Delta AHI = \Delta AKJ\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \[AI = AJ\] (hai cạnh tương ứng)

•\[\Delta AIJ\] có \[AI = AJ\] nên cân tại \[A\], suy ra \[\widehat {AJI} = \widehat {AIJ}\].

Ta có \[\widehat {AJI} + \widehat {AIJ} + \widehat {JAI} = 180^\circ \] (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {AJI} = \widehat {AIJ} = \frac{{180^\circ - \widehat {JAI}}}{2}\]          (1)

•\[\Delta ABC\] cân tại \[A\] suy ra \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\]          (2)

Từ (1) và (2) ta có \[\widehat {AJI} = \widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\]

Mà hai góc \(\widehat {AJI}\) và \(\widehat {ABC}\) ở vị trí đồng vị nên \[BC\parallel IJ\].