Cho tam giác ABC cân tại A ( góc A < 90 độ). Kẻ BD vuông góc với AC tại D, kẻ CE vuông góc với AB tại E. a) Chứng minh tam giác ADE cân. Từ đó suy ra DE song song BC

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \);

\(\widehat {BAC}\) chung;

\(AB = AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\)).

Do đó \(\Delta ABD = \Delta ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AD = AE\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó tam giác \(ADE\) cân tại \(A\).

• Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ACB} = \frac{{180^\circ  - \widehat {BAC}}}{2}\)   \(\left( 1 \right)\)

• Vì \(\Delta ADE\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ADE} = \frac{{180^\circ  - \widehat {BAC}}}{2}\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ACB}\).

Mà \(\widehat {ADE}\) và \(\widehat {ACB}\) ở vị trí đồng vị.

Do đó \[DE\parallel BC\].

b) Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {ABI} + \widehat {IBC}\); \(\widehat {ACB} = \widehat {ACI} + \widehat {ICB}\).

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)); \(\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\) (vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\]).

Nên \[\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\] suy ra \(\Delta IBC\) cân tại \(I\).

Do đó \(IB = IC\).

c) Ta có \(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)).

Suy ra điểm \(A\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Mặt khác \(I\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Khi đó \(AI\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Do đó \(AI \bot BC\).