Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90 độ). Đường trung trực của cạnh AC cắt tia CB tại điểm D. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = BD. a) Chứng minh tam giác ADC cân;

a) Theo đề bài, đường trung trực của cạnh \(AC\) cắt tia \(CB\) tại điểm \(D\).

Suy ra \(D\) thuộc đường trung trực của \(AC\) nên \(DA = DC\).

Do đó tam giác \(ADC\) có \(DA = DC\) nên tam giác \(ADC\) cân tại \(D\).

b) Vì tam giác \(ADC\) cân nên \(\widehat {DAC} = \widehat {DCA}\) (1)

Vì \(AB = AC\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {DCA}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {ABC}\).

Ta có \(\widehat {EAC} + \widehat {DAC} = 180^\circ \); \(\widehat {DBA} + \widehat {ABC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Mà \(\widehat {DAC} = \widehat {DCA}\) nên \(\widehat {EAC} = \widehat {ABD}\) (đpcm).

c) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta CAE\) có:

\(AE = BD\) (giả thiết);

\(\widehat {EAC} = \widehat {ABD}\) (chứng minh trên);

\(AB = AC\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)).

Do đó \(\Delta ABD = \Delta CAE\) (c.g.c).

Suy ra \(AD = CE\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(DA = DC\) (chứng minh trên) nên \(CE = CD\).

Mà \(FD = FE\) (\(F\) là trung điểm \(DE\))

Do đó \(CF\) là đường trung trực của \(DE\).