Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. a) Chứng minh: GB = GC; b) Cho P là một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh 2AB > PB + PC

a) Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\)(1).

Vì \(BD\); \(CE\) là đường trung tuyến nên \(D\) là trung điểm của \(AC\) và \(E\) là trung điểm của \(AB\).

Do đó, \(AE = EB = \frac{1}{2}AB;\,\,AD = DC = \frac{1}{2}AC\) (2)

Từ (1); (2) ta suy ra \(AE = EB = AD = DC\).

Xét \(\Delta BEC\) và \(\Delta CDB\) có:

\(BE = DC\) (chứng minh trên)

Cạnh \(BC\) chung

\(\widehat {EBC} = \widehat {DCB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Do đó, \(\Delta BEC = \Delta CDB\) (g.c.g)

Suy ra \(BD = CE\) (hai cạnh tương ứng)  (3)

Vì \(G\) là trong tâm tam giác \(ABC\) nên \[BG = \frac{2}{3}BD;\,\,CG = \frac{2}{3}CE\] (4)

Từ (3), (4) suy ra \(GB = GC\).

b) \(P\) là điểm nằm trong tam giác \(ABC\), đường thẳng \(BP\) cắt \(AC\) tại \(N\):

Ta có: \(AB + AC = AB + AN + NC = \left( {AB + AN} \right) + NC\) (5)

Xét tam giác \(ABN\) có: \(AB + AN > NB\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra, \(AB + AN > BP + PN\) (do \(NB = BP + PN\))

Do đó, \(AB + AN + NC > BP + PN + NC\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra: \(AB + AC > BP + PN + NC = BP + \left( {PN + NC} \right)\)

Hay \(AB + AC > BP + PC\). Mà tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).

Do đó, \(2AB > PB + PC\).