Cho tam giác ABC cân tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam

a) ⦁ Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực AO của cạnh BC (do O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) đồng thời là đường phân giác của góc BAC.

Mà AI là đường phân giác của góc BAC (do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

Suy ra hai đường thẳng AO và AI trùng nhau hay ba điểm A, O, I cùng thuộc một đường thẳng.

⦁ Do OA là đường trung trực của BC nên OA ⊥ BC.

Ta có BAI^=CAI^ (do AI là đường phân giác của góc BAC) hay BAO^=CAO^ 

Gọi D là giao điểm của AO với đường tròn (O) (khác điểm A) nên BAD^=CAD^

Suy ra BD = CD.

Do đó đường thẳng OA đi qua điểm chính giữa D (khác điểm A) của cung BC.

b) ⦁ Gọi H là giao điểm của AD và BC. Do đó, AH ⊥ BC và H là trung điểm của BC.

Suy ra HB=HC=12BC=12·24=12 (cm).

Xét ∆ACH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = AH² + HC²

Suy ra AH=AC2-HC2=202-122=256=16 (cm).

Ta có AD là đường kính của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC nên ACD^=90°.

Xét ∆ACH và ∆ADC có:

 AHC^=ACD^=90° và góc A chung

Do đó ∆ACH ᔕ ∆ADC (g.g)

Suy ra ACAD=AHAC hay AC² = AH.AD.

Nên AD=AC2AH=20216=25 (cm).

Do đó, bán kính đường tròn (O) đường kính AD ngoại tiếp ∆ABC là R=AD2=252=12,5 (cm).

⦁ Do ∆ABC cân tại A nên AB = AC = 20 cm.

Do BI là phân giác của góc ABH nên IHIA=BHBA=1220=35.

Ta có IHIA=35 hay IHIH+IA=33+5 (tính chất tỉ lệ thức) hay IHAH=38

Tức là r16=38.Vì vậy r=16·38=6 cm.

Vậy độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt là R = 12,5 cm và r = 6 cm.