Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.

a) • Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, ACB^=ABC^ .

Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = AB.

Vì D là trung điểm của AC nên AD = CD = AC.

Mà AB = AC nên AE = EB = AD = CD.

Tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó đường trung tuyến AM của tam giác ABC cũng đi qua G.

Hay ba điểm A, G, M thẳng hàng.

Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

AM là cạnh chung,

MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)

Suy ra  BAM^=CAM^(hai góc tương ứng).

Xét ∆AEG và ∆ADG có:

AE = AD (chứng minh trên),

EAG^=DAG^ (do BAM^=CAM^ ),

AG là cạnh chung

Do đó ∆AEG = ∆ADG (c.g.c).

Suy ra AGE^=AGD^  (hai góc tương ứng).

Do vậy GA là tia phân giác của góc DGE.

• Ta có BGM^=AGD^,CGM^=AGE^  (các cặp góc đối đỉnh)

Mà AGE^=AGD^

Nên BGM^=CGM^

Do đó GM là tia phân giác của góc BGC.

• Xét ∆AME và ∆AMD có:

AE = AD (chứng minh trên),

EAM^=DAM^ (do BAM^=CAM^ ),

AM là cạnh chung,

Do đó ∆AME = ∆AMD (c.g.c).

Suy ra AME^=AMD^  (hai góc tương ứng)

Nên MA là tia phân giác của góc EMD.

Vậy GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.